一位美国数学家宣称解决了一个著名的猜想，但是他不得不到苏联去取得发言权。

一个难住了最优秀的研究者们近七十年的数学猜想现在被路易斯 · 德布兰吉斯（Louis de Brangos）解决了，而这位数学家却被活跃的学术界几乎排除在外。这个猜想称为比勃巴赫猜想，它曾被认为是极其难以证明的，以至一些杰出的数学家认为它是不成立的。珀杜大学的德布兰吉斯所用的方法也曾被认为是一种徒劳的尝试，它只有约百万分之一的成功可能。“如果我自己来说的话，这是一项非凡的成就”德布兰吉斯谈道。

这次德布兰吉斯是有理由可以扬扬得意的，因为他说他自从三十年前发表了一个错误的证明以来，一直被数学界斥之门外。“这真是一种艰难的生涯，我得不到赞助，并且受到严厉的惩罚”他谈道。其他的数学家对他没有受到尊重表示同意。“至少可以这样说，德布兰吉斯是个有争议的人物”芝加哥大学的费利克斯 · 布劳德（Felix Browder）说，“他过去宣称解决了另外一些问题，但他的证明是错的。人们一直对他持怀疑态度。”

事实上，美国数学界对德布兰吉斯的声明是极其不相信的。当德布兰吉斯把他那声称证明了比勃巴赫猜想的文稿呈送给十多位美国数学家时，没有一个人审阅。只有在苏联，他终于获得了发言权。

比勃巴赫猜想是于1916年由德国人路德维希 · 比勃巴赫（Ludwig Bieberbach）①提出的。他作为一个臭名昭著的纳粹分子至少与他作为一个严谨的数学家同样闻名于数学界。然而他所提出的这个关于解析函数的猜想被证实为极其困难但又十分吸引人，因此照例在数学研究生的课程中予以讨论。更有许多研究者花了毕生精力试图解决它。复变量的解析函数是收敛于—个函数实际值的无穷多项式，即幂级数。例如，幂级数1+z+z2/2！+ z3/3！+…收敛于eθ。这种解析函数构成了微积分和微分方程理论中某些部分的基础，并且在解微分方程和描述机翼上的气流这类实际问题中起本质的作用。

比勃巴赫猜想述及的是解析函数系数的大小。它说，如果一个定义在单位圆内并具有形式z+a2z2+ a2z3+…的解析函数对任何复数的取值都不超过一次，那么对所有的k，它的第k项系数ak的绝对值绝不会超过k。

这个猜想听起来简单明了，但直到如今数学家们所能做的却是用一种蚕食的方法。比勃巴赫本人证明了对于第二项系数a2来说，它是正确的。德国数学家查尔斯 · 洛夫纳（Charles Loewner）于1923年证明了它对第三项系数a3是正确的。然后，斯坦福大学的两位数学家发现它对第四项系数也是正确的。1968年，又有两位数学家各自独立地证明了它对第六项系数是正确的。1978年，第五项系数也被攻克了。

与此同时，数学家们也越来越接近比勃巴赫对所有系数所作的估计。1925年，英国数学家达德利 · 李特伍德（Dudley Littlewood）证明了第k项系数的绝对值绝不会超过k的e（2,718…）倍。更近一些时候，苏联列宁格勒大学的数学家米林（I. M. Milin）证明了它绝不会超过k的1.24倍。加利福尼亚大学圣迭戈分校的卡尔 · 菲茨杰拉德（Carl FitzGerald）证明了它绝不会超过k的1.08倍，而他的学生戴维 · 霍罗威茨（David Horowitz）则把这一估计改进为1.07k②。

德布兰吉斯证明的是米林于1971年提出的一个更强的猜想，由这个猜想可推出比勃巴赫猜想。令人惊奇的是，德布兰吉斯的方法并没有使他能够直接解决比勃巴赫猜想。菲茨杰拉德说，德布兰吉斯的证明是“非常机智的”。他评论道，“这个方法居然奏效，实在令人惊异。”德布兰吉斯必须引进某种加权函数，并把它们加以灵活处理，使一些复杂方程中的项在不同的时候被权以不同的量。这种方法听上去是十分靠不住的。菲茨杰拉德说，即使把这种方法非常详细地解释出来，大多数数学家仍会对这个方法能否获得成功抱十分悲观的态度。

德布兰吉斯说他对比勃巴赫猜想研究了七年才取得了成功。“这真是一段又长又枯燥的日子”他说道。去年3月，当他终于获得成功时，却发现在美国数学界没有一个人愿意审阅他那三百五十多页的冗长的手稿。这并不太出人意料，一位数学家说。这位数学家曾经审阅过多份由享有盛名的研究者所给出的这个猜想的错误证明。他和其他一些数学家确实着手审阅德布兰吉斯的证明，但是当他们一发现错误，就把它搁置一旁了。而这些错误，正如后来所证实的，最终并不影响这个证明。

幸运终于降临到德布兰吉斯身上。作为美国和苏联科学院之间一个交流协定的一部分，他定于4月至6月间访问苏联。他准备在列宁格勒大学向米林及其同事们演讲他的结果，虽然苏联人同意听他的演讲，但他们对他是否确实证出了这个猜想并不抱乐观态度。德布兰吉斯说，“普遍的预期是，一些隐藏得很巧妙的错误会被揭示出来。”

事实证明苏联人是耐心的听众。他们接连坐听了德布兰吉斯的五个演讲。每次都是从下午五时到晚上九时，有时甚至更晚，其间仅在喝茶时休息一下。米林和他的同事埃美尔亚诺夫（E. G. Emel'ianov）终于确认这个证明是正确的。6月，德布兰吉斯与讨论班负责人库茨米娜（G. V. Kuz'mina）合作，用他自己的话说，“来巩固讨论班的发现”。最后，德布兰吉斯把他的一份12页长的证明的预印本递交给斯捷克洛夫（Steklov）数学研究所所长、苏联主要数学杂志的主编法蒂夫（L. D. Fadeev）。

接着，苏联人就把这预印本寄送给世界各地的数学家们。“我就收到了三份主动寄来的文本，都没有签名，”菲茨杰拉德说。现在，菲茨杰拉德和柏林技术大学的克里斯琴 · 波梅兰克（Christian Pommerenke）进一步简化了这个证明，并把他们这个简化了的证明传播于数学界。菲茨杰拉德说，他们这样做，“主要是为了告诉人们这件事是真的”。

现在还不清楚这个证明在什么时候和什么地方发表。德布兰吉斯曾经很想把它在苏联杂志上发表，但是这种想法受到了劝阻。他说，一位朋友雄辩地谈到了苏联对犹太数学家的歧视，同时也告诉他，在苏联杂志上发表文章不如在美国杂志上发表文章来得荣耀。因此，他决定把他的证明投寄给美国杂志，但是还没有决定是哪一家杂志。

这个猜想的重要性主要在于：它不但被证实是极其困难的，而且在研究者们试图解决它的过程中，许多有用的数学得到了发展。数学家们同意这样的观点：要决定德布兰吉斯的方法或者他解决了比勃巴赫猜想这件事本身是否对数学具有普遍性的重大意义，现在为时尚早。但是在数学领域内，缺乏立竿见影的实际应用并不能抹杀这个结果的重要性。“在这件工作完成之前，解决方案尚未见端倪，一些数学家，包括我自己，并不完全相信这个猜想是成立的，”高等研究院的恩里科 · 邦比里（Enrico Bombieri）说，他曾经研究过这个问题、“这件工作好到出乎任何数学家的预期”，菲茨杰拉德说。“这是一个伟大的成就。”布劳德说。

对这件工作大加赞赏的数学家们也十分注意赞扬德布兰吉斯。至少根据流行的观点（数学家一生最出色的成就出在他们的青年时代），仅他的年龄——52岁——就与这种成就不甚相容。况且，德布兰吉斯因他的坏名声而到处受阻，他不被人们所接受，甚至长期以来没有他认为应该有的发言权。“他在这个问题上的研究如此艰苦，值得大加颂扬”菲茨杰拉德说，“在这个领域研究的任何人都会被告知，‘别浪费时间了。’”

[Science，1984年9月]

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①比勃巴赫于1982年9月1日逝世，终年96岁——译者注。

②译者与李江帆合作，简化了霍罗威茨的方法，并把他的结果改进为1.0643k（见《自然杂志》1983年第10期）——译者注。