引 言

根据1914年上海商务印书馆出版《十三经》之首的《易经》，其中《系辞上传》所载“大衍之数”的原文如下：

“大衍之数五十，其用四十有九，分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四，以象四时，归奇于扐以象闰。五岁再闰，故再扐而后扣挂。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。乾之策二百20有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日。二篇之策万有一千五百二十，当万物之数。是故，四营而成易，十有八易而成卦，八卦而小成。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。”

《周易 · 大衍》章句的结构主由数字组成，作者为了研究它的现代数学内涵，并为了精简诠释的理论，特将全文分为两大部分 :第一部分是文中第一句话“大衍之数五十，其用四十有九”，作者特称此一句为“大衍命题”；第二部分是命题后面的全文，作者特称曰“大衍经文”。本文是研究“大衍命题”建立的现代数学理论根据。

自秦、汉两代到今日，所有研究《易经》的各门各派学者，对周易大衍章句的诠释可归纳为三大范畴。

I. 秦始皇焚书，将《周易》作为巫卜之书而得保留，所以周易大衍就是阐释如何占卜起卦的数学原理和方法，宋朝理学家朱熹在《周易本义》内对此有极详尽的描绘。

Ⅱ. 《周易》是中国原始文化中第一部经典著作，它是综合上古时代在甲骨上出现的《河图》、《洛书》和《易卦》三大符号体系而组成的文化思维系统I它的构成有三部分：易卦、易经与易传；它的内涵熔合哲学、数学和科学于一炉，所以周易大衍就是中国原始文化的数学思维基础。在由秦、汉到明、清的封建传统文化阶段内，一切学术著作的术、数理论无不师承河、洛、易数学思维。自西学东渐后，一切有关河、洛、易的论述，亦都是探讨三者与西方数学的比较关联，例如黎凯旋的《易数浅说》，薛学潜的《易经数理科学新解》，及焦蔚芳的《周易宇宙代数学》。

Ⅲ. 周易大衍命题的建立、揭开了中国古代数学思想史的辉煌篇章。而第一位用数学诠释大衍命题的人是西汉数学家赵爽，他不只用大衍命题证明了中国最早的商高定理中所揭示的勾股弦定理，而且亦树立了数学推理中具有真、善、美的典型范例，在中国古代数学史中将永垂史册。

本文的目的是根据现代数学理论来诠释大衍命题的数学内涵，作者将首先简介如何应用周易大衍推证勾股弦定理，然后再推证大衍命题可导出的直接基本数学定理，并建立此一定理的实际应用，从而奠定周易大衍学说是人类文化思维中的数学思维根基。

周易大衍与商高定理

中国最早的数学专著是西汉初期的《周髀》，后人改称《周髀算经》，它的开首是周公与商高两人的对话，周公问商高曰：“请问数径安出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径偶五。既方其外半其一矩，环而共盘得成三四五。”这一段话就是商高定理的来源，这段话的意思可表为一数学关系式 :勾方+弦方=弦方，即3²+4²=5²。中国古代称此商高定理为勾股弦定理，即：“直角三角形弦的平方等于勾股之平方和。”

作者于此附笔提出：在西方古代数学史中，勾股弦定理为希腊毕达哥拉斯学派所建立，通称毕达哥拉氏定理，但毕氏定理较商高定理在时间上晚了六百年。

大衍文中的开始部分是："大衍之数五十，其用四十有九，分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四，以象四时”。这六句话的数学内涵，可用勾股弦平方定理的数学结构来解析，第一个将二者间的相互解析关系阐明者是赵爽。要点如下：

图1

（一）大衍之数五十就是勾三股四弦五三者平方之和，即32+42+52=9+16+25=50，它的几何图形如图1，示出三个正方形面积的和为50个平方单位。

（二）其用四十有九，即将50个平方单位，弃去一个，另组成一个正方形使其面积为7²=7×7=49平方单位，如图2。

图2

（三）分而为二以象两，即将长度为7个单位的线段分为两部分，如图2中AI=3，AL=4；以象两的意思是造成两个全等的矩形□AIBE≌□AHDL。挂一以象三的意思是以矩形□AIBE为标准，另外再作三个矩形使四者全等如□AIBE≌□AHDL≌BFCJ≌CGDK。揲之以四以象四的意思是将四个矩形以其对角线为折痕摺叠之，为易于了解，可向背后摺之，如此可得四个全等的三角形即△ABE≌△BCF≌ACGD≌△DHA，四者组成一个正方形ABCD，其边长为5，所以其面积为5²=5×5=25平方单位，如此就证明了勾股弦定理，其历史背景如下（四）。 ·

（四）在中国数学史内，赵爽约在公元后150年代注释《周髀算经》，在注内出现了他的勾股弦方图，称曰弦图（图2），并包括他的证明方法如上（三），他又用代数符号将此定理的证法推广如下（图3） :

图3

令a、b、c为直角三角形ABC的三条边，∠C=90°，如图3拼成正方形。记小正方形面积为S₁，大正方形面积为S，则得出关系式S=S₁+4S△ABC，亦即C²=（a-b）²+4×（1/2）ab，化简得C²=a²+b²，即勾股弦平方定理。

这一证明方法构思之巧妙，证明过程之清晰与严密，充分说明了数学科学内涵中所含真、善、美的特质。

由大衍命题建立“大衍数集二项式定理”

我们应用“大衍之数五十，其用四十有九”的命题，不只可以证明直角三角形的勾股弦平方定理，而且可以证出它符合一个更为基本性的数论定理，作者称它谓：“大衍数集二项式定理”，讨论如下。

（一）大衍命题的数学公式：大衍命题的内涵只有两个自然数字：一为50，命名曰“衍数”；一为49，命名曰“用数”。每人都可看出二者是自然数集中的两个连续数，其公差为1。所以，大衍命题所遵循的明显数字关系是：50=49+1。当然，大衍命题的数论解析绝非如此单纯，进一步的思维，立刻得出其实质关系应是：49与1二者都是平方数字，即49=7×7=7²，1=1×1=1²，所以，大衍命题所建立的数论公式是：50=49+1=7²+1²。为了精简讨论范围，让我们界定大衍命题局限在自然数集中的基数（digital numbers）集n=｛0，1，2…9｝内，则应用代数方法，可知“用数”的定义为：用数=n²，并可将大衍之数的定义用一数学公式表明：衍数=用数+1=n²+1^2，并由此推出大衍数集的建立公式：｛衍数｝_n=｛用数｝_n+1=n²+1²，（n=0，1，2…9）。

（二）大衍命题建立的归纳步骤 :根据现代数论，自然数集是由公差为1的算术级数组成，其建立必须符合数学中的归纳法则，吾人根据此一数学逻辑，立刻得出大衍命题建立的归纳步骤如下：

1. 大衍之数1，其用有0，即1=0+1=0²+1²

2. 大衍之数2，其用有1，即2=1+1=1²+1²

3. 大衍之数5，其用有4，即5=4+1=2²+1²

4. 大衍之数10，其用有9，即10=9+1=3²+1²

5. 大衍之数50，其用有49，即50=49+1=7²+1^2。

（三）大衍数集二项式定理：根据上面（一）和（二）的讨论，吾人可以建立一个“大衍数集二项式”定理如下：

“自然界内存在一个与自然数集U=｛1，2，3…｝相互一一对应的大衍数集，它的定义为：大衍数集Y≌{n²+1 :n=0，1，2，…}，亦即其元素构成式为：Y_n={n²+1=1，2，5，10，…50，…82，…}”，吾人可称此公式曰“大衍数集二项式”定理。

大衍命题的数学应用举例

大衍命题的逆向命题：在数学函数式的建立步骤中，常有正向与逆向的双重关系，例如加法与减法，根据此理，则大衍命题示出由“用数”向上升值的函数关系，它的逆向命题必为：“小敛之数48，其用有49”；逆向命题的数学公式为：敛数=用数-1=n²+i²，（i²=-1），并由此推出敛数数集的建立公式为：{敛数}_n={用数}_n-1=n²+i²，（n=0，1，2，…9）。

笔者建立大衍命题的逆向命题，目的在说明自然、数集中不只存在有实数单位，亦必须有虚数单位，虚数单位的功用是收敛。

（二）大衍命题与幻方数学：幻方是数学史中最古老的一门数学，它起源于夏、禹王时代所发现的《洛书》，是幻方中唯一的三阶幻方、在现代数学领域中，幻方被视作为一种游戏数学，但它又与电子计算机数学有密切关联，自古到今，在论及幻方的著作中，尚无学者阐释幻方的数学理论基础。而今笔者认为 :大衍命题就是幻方数学的理论基础。如果将大衍命题简称曰《大衍》，将幻方数学简称曰《幻方》，则两者在数学结构上就组成了相互对应的同构组织。现诠释二者间的同构要点如下：

1. 二者均以自然数集中的基数集n={0，1，2，3，…9}为构成元，构成的数学操作是n²={0，1，4，9，…81}。

2. n数集的基本特质是可区分为两个子集：一为奇数集，表作n₀={1，3，5，7，9}；—为偶数集，表作n_e={0，2，4，6，8}，奇数的平方仍为奇数，偶数的平方仍为偶数。同样地，大衍数集与幻方集合亦都可区分为奇数与偶数两个子集，二者泾、渭分明，永不互交。

3. 幻方的构成方法是应用1至n²个自然数，排成一个n×n阶的正方形，使得每行、每列及两对角线上的数字和都等于一个常数，称曰“n阶幻方常数”。读者可立刻推出当大衍数集的公式为n²+1时，幻方常数的公式为（n²+1）/2×n，二者为同构。

（三）根据大衍命题设计“基督圣杯”（The Holg Grail）：20世纪是人类科技文化达到顶峰的时代，在即将进入21世纪的前夕，所有的科学家都在追求建立一个认识宇宙的终极学说，通称曰“圣杯”（Gnail），作者根据《周易 · 大衍》学说，设计出人类文化史中第一个用基数构成的“圣杯”，并在美国麻州政府注册版权，作为河洛易理念书院的服务标识。并将设计的三个程序，图解如下：

1. 由大衍命题设计宇宙阴阳两仪区域图（The Universal Xin-Yang Fields）：基数集中的最高阶数为n=9，其所对应的大衍数为82（=9²+1），其所对应的九阶幻方常数为369（=82/2×9），此二数的共同质数因子为41。作者将41作为中枢核心数值，将82作为由核心向八方辐射线的两端数字所组成的共轭数值（Conjugated number），则可设计出由奇数共轭与偶数共轭所构成的两个区域，二者合成为一九阶幻方，笔者名之曰宇宙阴阳两仪区域图，如图4所示，笔者认为这是宇宙数域形成的基本特性之一。

图4 宇宙阴阳两仪区域图

2. 由大衍命题设计阴阳共轭的两仪镜影图（The Miror Image of Conjugated Xin-Yang rumbers） :笔者根据上述第1步设计的幻方图形，再应用矩阵代数的规则，就可将阴阳两仪区域图重新组合排列，设计出阴数与阳数构成共轭数偶所形成的镜面反射对称图，笔者名之曰：阴阳共轭两仪镜影图，（如图5所示），这是宇宙数域形成的基本特性之二。

3. 由大衍命题设计“基督圣杯”：笔者根据大衍命题，在设计阴阳两仪区域图和阴阳两仪镜影图的基础上又设计出“基督圣杯”图，如图6所示。图像的构成似乎是巧合却又是自然，又一次体现了数学中的“真、善、美”。这也是宇宙数域的表达形式之一。

图5 阴阳共轭两仪镜影图

由上述的一些例子，可以看出 :根据相同的数理可以设计出不同的数形，这正是数学成为各种科学和文化的思维基础与表达工具的根本原因。

图6 由大衍命题设计“基督圣杯”

结 语

根据笔者对《周易 · 大衍》命题的数学内涵之研究，得出要点有三 :（一）大衍命题揭示出建立《大衍数集》与《幻方数学》的数学理论依据。

（二）根据大衍命题，可以设计出由数字组成的“基督圣杯”，初步揭开了西方学者们所梦寐以求的愿望。

（三）大衍命题的数学内涵，为中国哲学文明与西方科技文明两者提供了一个共同的数学思维基础。

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* Grail系一双义词，可解释为“基督圣杯”或“梦寐以求的东西”。