根据哈佛大学的数学家P · 达埃科尼斯（ Persi Diaconis）和哥伦比亚大学D. 贝耶（David Bayer）的观点，无论你是如何出色的玩牌好手，也不可能将一副牌完全洗匀。去年的这个时候，他们用大标题公布了一个数学证明：至少要洗7次才能使一副52张纸牌彻底洗匀，而多于7次并无多大差别。这件事成了当时的头条新闻。

这个问题长期以来难住了别的数学家们。一副52张的纸牌可以有无数种排列次序，52张的任何一张牌可以是整副牌的头一张，51张中的任何一张可以是第二张，依次类推，可能出现的排列数目为52×51×50 x……x1。这个计算的结果大约为10⁶⁸，远大于宇宙起始以来所经过时间的秒数。要想确定洗多少次后，才使上面的各种排列，会均等出现和消除原先排列的影响，这已被证明为一个很难解决的问题。

贝耶和达埃科尼斯采用了一种不寻常的逼近方法，他们做了大量的实地调查，自己玩牌，出没于赌场和娱乐场所，甚至把洗牌时的情况，用录音机录下来，分析洗牌的声音以便了解纸牌是如何互相穿插进去的，最后他们找到了一种简单的方法来计算一副牌出现的随机性。

即使是一个业余牌手也知道，如果某些牌组成的某个序列在下一次洗牌后仍然出现，那么就可以说这副牌没有洗匀。为了把这个直观概念变为一般随机性的计算，达埃科尼斯和贝耶定义了一个上升序列。如果你把一副牌从1到52编号，而不管它的牌面是什么，那么一个上升序列就是一些有连续号数牌组成的序列，如1，2，3或17，18，19，20，而且组成同一个上升序列的牌无需彼此相邻/若要找出一副牌中的上升序列，只要从最上面一张牌开始直到最下面一张牌，跳过一些牌直到找到编号比它大1的那张牌，当你找到最下面一张，第一个序列到此结束，下一个序列就从你跳过的牌中第一张开始，依次类推。

现在想象一副牌从一个完全连续序列开始，即1在最上面，52在最下面，它只有一个上升序列。如果把它均匀分成两堆，一堆的牌为1至26，另一堆为27至的，洗牌后变成这样的情况：1，27，2，28，3，29，…。洗过后的牌包含了两个上升序列：1，2，3…和27，28，29。…。事实上，每洗一次牌，上升序列的数目会增加，而其长度则缩短。一副完全洗匀的牌应有26个上升序列，而原来牌的次序已荡然无存。

那么洗多少次牌才能达到这种程度呢？经过对无数次纸牌游戏的观察，达埃科尼斯和贝耶深信7是个奇妙的数字。通过有理性的猜测，他们给出了计算某个洗牌次数可能产生某个上升序列数目概率的公式。这个公式预示洗7次牌能产生接近于26个上升序列；换言之，洗7次可以使整副牌随机化。

“你要知道什么，我们按照计算，回答是对的”，达埃科尼斯说/即数学有一种使你惊奇的方法，我们希望知道什么，回答是对的。”

不过，研究人员必须证明这个公式是正确的。他们作了第二步改进，洗牌的几何描述。“我们已取得了突破”达埃科尼斯说'不是采用更大的计算机，而是用全新的方法来看待这个问题的。”

这个新方法既抽象又形象：它用一个52维的超立方体来表示一副52张的纸牌所有可能出现的排列。在超立方体内的一点代表这副牌的状态。每根轴对应一张纸牌，点沿该轴的位置对应于这张牌在整副牌中的位置，则离轴越近，表示这张牌离最上面一张越近。根据52张牌的位置来确定点的52个坐标；你得记下这副牌的顺序。

10⁶⁸种可能的排列顺序的每一种，都可用超立方体的一个独立的“体积元”来表示，在体积元内坐标的秩不变。如果你能看到一个52维的体积元，那你就不是地球人，但在3维空间里（即一副3张牌的情形），这并不难。此时，超立方体简化为通常的立方体，3根轴为x轴、y轴和z轴，原点在一个立方体角点。而体积元为6个四面体，它们有共同的对角线。从原点出发穿过立方体。在每个四面体内3个坐标的秩不变，比如x大于y，y大于z。每个四面体代表3张牌的6种可能排列中的一种。

现在回到52张牌的情况来进行洗牌。在超立方体模型中，洗牌对应着把点从一个体积元移到另一个体积元的过程。达埃科尼斯和贝耶用这种方法来表示这个过程：先将超立方体的52根轴延长为原来的2倍，然后将延长的轴一切为二，并把新的一半重新溶到旧的一半里去（这种做法犹如把一个生面团拉长和折起来，这就是为什么研究者把它称之为面包师变换的缘故）。

当这些轴加倍后，含有该点的体积元为原来大小的2⁵²倍，那么它可以分成2⁵²个新的体积元。所有的新体积元是原超立方体中的体积元的复制；它们表示一副牌那样洗牌后出现的排列。有的体积元不止复制一次，反映的事实是一副牌的某种排列顺序，可以通过不同的切牌和交叉来得到。关键是：当轴加倍时，点的坐标也加倍，在这个过程中，该点可以进入任何一个新的体积元中，但当轴又被压缩为原始长度时，它不可避免地溶合到原始立方体的对应体积元中，这副牌就以这种排列出现。

要计算牌的某种特定排列出现的概率，你只要知道把对应这种排列的原始单元体每边延长后的体积元数目，经一次延长后，某些体积元的复制要比其他体积元多。达埃科尼斯和贝耶发现，必须将轴进行7次加倍（不要把它们切断放回）才能使10⁶⁸个原始体积元的出现几乎均等。这就是说，你洗7次牌以后，所有10⁶⁸种排列理论上才可能变成均等的。“一旦我们有了洗牌的几何描述”达埃科尼斯说，“这个问题就归结为计算体积元的数目”。

达埃科尼斯对他所获的结果感到满意。“对数学方面通常希望尽你所能”他说，“你讲的问题谁都知道，而少数人是不愿意承认，但是洗牌似乎获得了人们的关注”。

[Discover 12（1991）1]