分形——维数之间的几何

发布时间：86年12月26日

Michael Batty 编译赵永长

计算机的图形正在揭开分形的探究——不规则的图形向传统几付挑战。应用是多种多样的，并且有可能改变我们考虑科学和艺术许多领域的方法。

自然界有很多用各种不同尺寸重复的形状。一块岩石同从被分裂下来的山相类似。树的嫩枝同树的本身躯干和树枝有相同的结构。自然界存在许多对象，当你更接近他们时在越来越小范围上暴露出同等程度不规则。一个著名的例子是具有较小海湾和海岬的海岸线，在远距离上不可能被看见，但当你接近时变成可见了。在长时间内，科学家仅仅愿意做观察和分类几何和古典数学的特点，而对于几何直观知识和古典数学的应用似乎太无规律。现在所有这些已改变，并且某些“自相似”形状的数学研究有可能改变我们考虑许多数学领域或艺术中的方法。

转折点来自1967年，当时在一篇题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文（《科学》，156卷636页），法国数学家比诺埃特 · 曼德尔勃劳特（Benoit Mandelbrot）开创也许是以后二十世纪应用数学最令人鼓舞的范围之一。曼德尔勃劳特观察海岸线的长度似乎决定于他所用的测量标准。当比例被用得更为精确时，长度就增加，似乎没有极限：如果你越来越细致地观察海岸线，更多的扭曲变得可见。这些观察导致曼德尔勃劳特的断言：实际上，海岸线长度也许被认为是“无极限的，或者甚至不确定的”。事实上，这些结论使曼德尔勃劳特的较重要的命题变成难以理解。像海岸线一类自相似形状位于“维数之间”，换句话说，这些形状不是类似直线的一维；或类似乎面的二维；或类似于我们世界的三维。替而代之，它们具有分数维（非整数）。这意味着，处理一维直线或二维平面等等的欧几里得几何是不适用了。

曼德尔勃劳特制造“分形”（Fractals）—词来描述分数维的形状（分形一词从拉丁文“fractus”而来，意味着不规则）。分形在任何地方出现，例如噪声的传播，银河系星团和在经济中价格的浮动等多种课题，所有这些课题都被曼德尔勃劳特研究过。在1975年他把他的工作收集在一本书中，最初在法国出版，接着被修订和补充，最近以《自然界的分形几何》书名出版（Freeman 1982）。他所揭示的具有分形性质的课题范围的多样性是令人惊奇的，并且他的启示十分清楚：在分形研究中多少能给任何人一些东西。他的书是困难和诱人的，卓越的和反常的方面是一本图画书，另一方面是数学模型的一个新形式的严格表示。

尽管曼德尔勃劳特的启示很深奥，但由于初看起来似乎是想不到的和也许是肤浅的一面：计算机作图，他的工作正得到极大的注意。在阐明他的概念时，曼德尔勃劳持坚决主张用图画来讨论，并且这些优美的分形图案和风景画是由对这领域有极大兴趣的他的同

事理查德 · 冯斯（Richard Voss）和艾伦 · 诺顿（Alan Norton）在纽约IBM的汤姆生瓦特生研究中心所制成。

世界上最有能力的计算机制图团体之一已被卢卡斯电影有限公司电影制造者乔治 · 卢卡斯（George Lu-cas）集中在加利福尼亚。这支队伍的部分工作包括将分形应用在计算机电影的逼真演出中。他们已经应用分形技术制造了电影《星球旅程Ⅱ》（Star Trek Ⅱ）中“创世纪”的一段场面，同样也制作了《杰地的归来》（Return of Jedi）中安陀（Endo）围绕月亮的力场。卢卡斯电影有限公司和阿太利电影有限公司最近已联合投放了被称为“营救分形”（Rescue on Fractalus）的计算机游戏。这游戏说明曼德尔勃劳特的概念如何才能最有效地应用在最简易的私人计算机上。

用图解说明的最简单的分形是这些在等级和尺寸上都相同。曼德尔勃劳特假设为了仿制一个类似海岸线的形状，我们将开始选择一个起始者——一段直线——并且使用把不规则应用到这段直线的生成元。例如，生成元可以立足于把线段分成三等分，然后沿着一个等边三角形两边来取代中间部分，从而扩展线段长度，如图1a。结果得到长度是原始者4/3倍的“弯曲”的线段。我们可以把生成元应用到新线段的四个直的分割部分中的每一个，于是再次增加它的4/3长度，导致了一个进一步的更细小的不规则。用这方法进行下去，我们以无限长线段为结果是很清楚的，虽然用肉眼实验这段线段毫无意义。图1b表明“循环”过程方法导出不规则的另一个例子，那里三角形是作为原始者，而生成元被应用到它的每一边。

图1中的曲线首先由德国数学家海尔吉 · 冯 · 科契（Helge Von Koch）在1904年仔细研究过，作为无限长度连续曲线的一个例子，它们的研究没有被当时数学家推动。在这个时期，数学家定义了许多这样的曲线，直到曼德尔勃劳特提出他的分形理论之前，这些曲线被认为是不服从直觉的“怪物”。这些科契曲线的例子或者有时它被称为“雪花”可以由曼德尔勃劳特的分数维数的概念清楚地说明。曼德尔勃劳特是根据物体被生成部分的数目（N）和用于分割原始者的“相似比例”

类似于自然模式的许多漂亮的图案可以应用科契重复被产生，以科契生成元为基础的另一类模式可以被称为Cesaro曲线，它提供了一些像蕨类植物的形状。［注：原文有图，本文略，］但是，也许大多数有趣的分形曲线是这些具有接近2的分形维数，上述假设直线也许“充满”空间，空间充满曲线的最著名的例子是由意大利数学家格赛普 · 皮诺（Guiseppe Peano）第一次在1890年提供，图2显示了为生成上述情况的一种方法，正方形的每一边可以用相似比例1/3被分成三等分，产生了第一次分割后的9个较小的正方形。于是从顶到底的对角线可以被通过较小正方形的对角线的一根连续直线所代替，如图2a. 皮诺的曲线用图2b显示的方式通过每一较小正方形，并横跨较大正方形，为了明确目的，那里在曲线每个正确角度弯曲的拐角已被切开。曲线“充满”空间的概念从图加和图2d的重复可以被看得很清楚。像在海岸线情况中，极限是不能被确定的，但当用肉眼在固定尺度上观察时曲线不久要充满空间。皮诺的曲线是以在伊斯兰教地区中发现许多瓷砖图案为基础的，像在Manries Escher的艺术一样。

曼德尔勃劳特和他的同事也探求了维数比2更大的非随机分形的规律。阿伦 · 诺顿（Alan Norton）由于他的不可思议且极好的三维“例子”的计算机生成图片受到了广泛的称赞，这些分形的维数比三维还大。具有小于一维的分形是同样有趣的，在这里如同一贯，曼德尔勃劳特在用新的术语方面表现非凡。取一直线段再一次作为原始者，把它分成三部分，并且仅仅在外侧两个部分再次重复，导致循环使保留线段变得越来越短，但总是有限长度。曼德尔勃劳特称如此形式为“康托粉末”，并且重复过程称为“使凝结”（Carding），在这里暗示干酪制造不是像听起来那样奇怪。在这情况下，最终形式的分形维数是由上面D=-log2/log?的公式给出，大约0.63。

粉末的例子发生在银河系星团和湍流中，但比较直接可见的重要性是形成分枝过程的模式，例如像树的形式。树的结构从伦纳德 · 达 · 芬奇时代已被广泛地研究。数学家知道许多关于他们的构造。曼德尔勃劳特证明一枝分裂成较短两枝的过程生成一个康托粉末。在分形树中（注：原文有图，现略。），树的分枝的“消失”借助于6级的浓度——6个连续的分枝。枝的顶端生成曼德尔勃劳特所谓“分形伞顶”。在描述和生成高度逼真形式中分形几何功能在这种情况下很容易看到，并且取分枝级别到13，大大地增加了真实性的程度。

至此，我已给的非随机的分形例子，在标度连续级别上，精确自相似地扩展某些形状就可以重现自然界的形式，至今这是令人惊奇的。分形的大多数功能是通过计算机艺术来很好展示的，在那里有些图案相对地容易被实行。一个简单的风景画，在那里高山和白云分别是正弦函数和极函数的数学曲线，充其量不过相当单调和十分不逼真。但是，在如此一个背景上加上分形几何来提高现实的多层次感，就得到了一个可以接受的图画。（注：原文有图，本文略。）

虽然如此，尽管分形维数是一致的，但是科契曲线对海岸线来说是太规则的模型。曼德尔勃劳特直率地承认在分形几何中随机必定扮演着一个本质的角色。他提出随机分形的基础模型之一是布朗运动：在液体中细小微粒运动由液体分子运动引起。曼德尔勃劳特证明了这模型包含了在任何维数中定义分形的自相似和不规则的全部特性。依赖于连续微扰一根直线，并且依赖于在组成此直线的各段折线的中点随机数值来近似布朗运动不能生成自相似形状。至今旻德尔勃劳特暗示有时这简单的过程导致看上去可接受的分形，利用计算机用最少时间来生成逼真图形——这是电影产业的一个明显要求，在对此要求的努力中，卢卡斯电影有限公司的节目已推广了这样的逼近法。生成的图像做得明显逼真和自相似。（注：原文有山脉风景画。）至今这些发展已与曼德尔勃劳特产生激烈的争论，在分形的故事中表现出一个更为奇怪的难题。

争论由于曼德尔勃劳特坚持任何分形模型的质量必须由它的图像的质量来判断而变成复杂，“耳闻不如目睹”是曼德尔勃劳特的箴言，他继续说：“自然界随意模型的基本证明是看，数值上的比较必居第二位。”他认为在他的书中最精细的图画——由理查德 · 冯斯（Richard Voss）制作的风景画和“行星照片”——的质量只能由应用基于布朗运动的完全分形的模型所生成。在他的观点中，被卢卡斯电影有限公司一群人应用的逼近法不能生成“真正的”分形。争论是如此不可思议，且在问题中计算机生成的图片是如此令人惊奇，以致很有声望的杂志《计算机设备协会通讯》刊登满了这些讨论，杂志在1982年7月和8月号再版了对“Voss's Planetrise over Labelgraph Hill”的两种见解。

在这些问题中争论将得不到解决，但是“行星增长”（Planetrise）照片不仅是好的计算机图片——的确，也许是至今最好的照片——而且也是分形风景图形成极好的说明。照片显示对“行星增长”的一个粗糙的逼近。（注：原有“Planetrise”的四幅连续照片。）在那里连续照片揭示逼真的海岸线和表面怎样迅速地生成。原始的大片陆地是由粗糙的三角形组成，三角形用取代中点技术被连续地微扰和再分。在循环四个级别后，电视机屏幕的清晰度没有好到足够区分任何更进一步的不规则，一些明暗的增加提高了真实感。

分形正开始表明在发展计算机艺术中数学的功能。分形增强了最好的计算机艺术将到来的观念，这不是像画素描一样通过利用计算机的屏幕，而是通过图片结构的数学模仿。对严肃的应用来说不考虑曼德尔勃劳特是容易的，因为他着重于制图法和技艺，着重于美的事物和图案，这样使他的工作为消遣数学提供了广泛的天地。但是，应用是如此的不同（见Box），并且在一定的意义上是如此的明显，以至于分形将在稍微规则化的科学领域中显示了他的特征——在生物和地理科学中，并且也许在处理城市和经济系统范围中，在上述范围里，占据空间的结构是具有本质意义的。

生成“行星增长”（Planetrise）图片的随机分形模型为城市模拟提供了有用的框架。例如，城市在他们的地区或附近是自相似的，甚至构成他们最小单位的家庭也有类似的空间和社会的结构，仅仅规格不同而已。他们有清楚的层次结构，这结构能够容易地被构织成常常生成分形的循环结构。在每个级别的层次中，城市的区域以特殊功能——生活、工作和娱乐为特征。我们所讲的包括：主要居住区，工业和商业范围中的住宅区，在居住区附近的公园，等等。在城市中这些特殊活动场所极大地取决于他们对其他活动的关系如何。把观察在不同层次级别中不同活动之间的关系纳入到用生成随机分形的循环结构中去，这变得是相当明显的事情。

分形的形竟给许多领域的概念提供了丰富的源泉。通过在最便宜和最小型的计算机上最简洁的演算应用是可能的，在逼真性的水平上图形的应用继续使人惊愕。在这篇文章中所有我的计算机生成图片都由在英国最广泛使用的学生计算机做出——BBC微机。在自身的讨论中分形几何的研究通过计算机作图法可以变成像初等几何和代数一样平凡。通过分形，计算机艺术将被预感为有地位的，并且，在至今还未获得成功的范围中数学模拟有了新的希望。分形允许进入许多科学领域，不但在基本水平领域中，同样也在高级水平领域中。美国物理学家约翰 · 惠勒（John. A. Wheeler）已谈到曼德尔勃劳特的工作：今天谁不知道高斯分布或熵概念的意义和范围，谁就不能被认为是科学上的文化人，同样可以相信，明天谁不能熟悉分形，谁也将不能被认为是科学上的文化人。

附：分形如何可以帮助物理学家去制造雪花

Christine Sutton 编译赵永长

雪花、闪电和烟的微粒也许似乎有较小的共同性，至今在许多不同地方近期短暂的研究表明他们存在于通常可以像分形一样被描述的许多物理结构中间。在安·阿博（Ann Arbor）的密歇根大学两位物理学家大约从1981年起，在一小撮固体粒子集合上已开始做了一些工作。T. A. 威顿（T. A. Witten）和L. M. 桑特（L. M. Sander）发展了一个对集合体的计算机模型，开始把一个称为“种子”的粒子放在空间中心（《物理评论快报》47卷，1400页）。他们的计算机程序控制在一段时间内由一个粒子进入空间，每个粒子随机地运动直到它接近另一个粒子，到足够接近时就被粘住。第一个粒子不愧为种子，但不久一个枝状的集团就形成了。（图a），具有分形的全部性质，并且维数D大约是1.7。

另一种概率是用许多粒子通过空间分布的计算机模拟实验，并且允许他们全部随机运动直到他们相遇并粘在一起。在这种情况下，集团也可以运动，并且以不同模式类型出现（图b），这模式大约有1.4分形维数，这比从单种子的集团群模型维数低。（《物理评论快报》，51卷，1119 ~ 1123页。）

两种模式的类型已发生在真实研究中，例如，在电的放电；金胶体的组织；锌的羽痕的生长中。在新墨西哥的桑地埃（Sandia）国家实验室的一个小组和在桑塔·巴巴拉（Santa Barbara）的加利福尼亚大学也已发现位于两种模式之间的生成模型。研究者测量可见光和X射线从硅土粒子集合的散射，并且他们发现集团有位于图a，图b两种模式维数之间的维数［戴尔·斯启弗（Dale Schefer）等，《物理评论快报》，52卷，2371页。］这工作设想整个结构的范围也许存在，并取决于粒子之间斥力和吸力的实际平衡。